Musiał 8)

Twierdzenie Pitagorasa

Weźmy trójkąt prostokątny o bokach \(a,b,c\), gdzie \(c\) jest przeciwprostokątną. Zrobimy magiczny trik i weźmiemy 4 takie trójkąty i ułożymy je jak na obrazku poniżej.

Utworzyliśmy dwa kwadraty.

Ile wynosi pole tych czterech trójkątów razem wziętych? Według mnie tyle, co duży kwadrat bez małego kwadratu. Ale również tyle, co cztery pola jednego trójkąta. Zapiszmy to w ten sposób.

\[ (a+b)^2-c^2=4 \cdot \frac 12 ab \\ a^2+2ab+b^2-c^2=2ab \\ a^2+b^2-c^2=0 \\ a^2+b^2=c^2 \]

No i twierdzenie Pitagorasa udowodnione!

Ciekawostka: istnieje również współczesna wersja tego twierdzenia, nazwana "twierdzeniem pyty golasa". Szczegóły tutaj, jednak ostrzegam, że wstęp mają tylko pełnoletni (jeśli nie masz ukończonych 18 lat, a wejdziesz, to bezzwłocznie dzwonię na policję), ze względu na treści erotyczne.

Jedynka trygonometryczna

Udowodnimy tylko jeden z przypadków, tzn. dla kąta w trzeciej ćwiartce płaszczyzny. Dla każdego innego robi się to "nieomal identycznie". W dowodzie pomoże nam twierdzenie Pitagorasa. Przypomnijmy definicję sinusa i cosinusa.

\[ \sin \varphi = \frac yr \implies y=r\sin \varphi\\ \cos \varphi = \frac xr \implies x=r\cos \varphi \]

Teraz użyjemy twierdzenia Pitagorasa. Spójrzmy na rysunek, żeby było wiadomo gdzie ono tu w ogóle występuje.

Boki trójkąta są wyznaczone przez współrzędne punktu w trzeciej ćwiartce.

Rozpatrzmy trójkąt pomaziany na zielono i napiszmy twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta.

\[ x^2+y^2=r^2 \\ (r\cos \varphi)^2+(r\sin \varphi)^2=r^2 \\ r^2\cos^2 \varphi+r^2\sin^2 \varphi=r^2 \\ r^2(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi)=r^2 \\ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi=1 \]

Jedynka trygonometryczna udowodniona.

<< Poprzednie ulubione dowody | | Kolejne ulubione dowody >>