Istota dowodów nie wprost
Na początku musimy wiedzieć kiedy twierdzenie jest prawdziwe. Twierdzenie to w pewnym sensie implikacja: założenia implikują tezę. Kiedy implikacja jest prawdziwa? Kiedy jej poprzednik jest fałszywy lub kiedy poprzednik i następnik są razem prawdziwe.
Jeśli założenia są fałszywe, to teza może zachodzić, ale nie musi - taka jest prawda o twierdzeniach. Uwaga! Twierdzenia, które używają spójnika "wtedy i tylko wtedy" mówią, że jeśli założenia są fałszywe, to teza też. Dowodem nie wprost możemy udowodnić tylko implikacje.
Wniosek jest taki, że twierdzenie zachodzi, gdy założenia implikują tezę. I chcemy dowieść, że rzeczywiście założenia implikują tezę.
W celu pokazania prawdziwości twierdzenia, dowodzimy, że to niemożliwe, żeby założenia były prawdziwe i teza była fałszywa. Jak to niemożliwe? A no tak, że w pewnym momencie z fałszywej tezy wyniknie fałszywość założeń. Ale przecież one są prawdziwe, bo tak zostało założone. Mamy zatem sprzeczność założeń, czyli dochodzimy do wniosku, że niemożliwe jest, żeby teza była fałszywa i założenia prawdziwe. Założenia z założenia są prawdziwe, więc nieprawdziwy musi być fakt o fałszywości tezy, czyli teza musi być prawdziwa.
Bardzo prosto wyjaśnić całość na zapisie logicznym. Oznaczmy przez \(z\) zdanie założenia są prawdziwe, a przez \(t\) zdanie teza jest prawdziwa. Zakładamy \(z\) - prawdziwość założeń i \(\neg t\) - fałszywość tezy. Dostajemy wynikanie:
\[ \neg t \implies \neg z \]Ale przecież \(z\) jest zdaniem prawdziwym, więc \(\neg z\) jest fałszywym. Prawdziwa jest cała implikacja \(\neg t \implies \neg z\) (w końcu wyniknęła z prawidłowego rozumowania). Skoro implikacja ma być prawdziwa, a jej następnik jest fałszywy, to jaki musi być poprzednik? Oczywiście fałszywy. Skoro \(\neg t\) jest fałszywe, to \(t\) jest prawdziwe. Czyli teza jest prawdziwa.