Co to jest rozkład wykładniczy?
Rozkład wykładniczy z parametrem \(\lambda\), oznaczany przez \(\mbox{Exp }(\lambda)\), to rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie \(F(t)=1-e^{-\lambda t}\). Gęstość tego rozkładu to \(g(x)=\lambda e^{-\lambda x}\). Parametr \(\lambda\) jest w tym rozkładzie też jego wartością oczekiwaną. Przypomnijmy co to jest dystrybuanta. Mając zmienną losową \(X\) o rozkładzie wykładniczym, możemy zdefiniować dystrybuantę:
\[ F(t)=P(X < t) \]Czyli dystrybuanta mówi nam jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość \(X\) będzie mniejsza niż \(t\).
Skąd pochodzi rozkład wykładniczy?
Weźmy jakiś fizyczny obiekt, który może zmienić stan w każdym momencie. Możemy myśleć na przykład o atomie, który może się w każdym momencie rozpaść. Załóżmy, że interesuje nas prawdopodobieństwo tego, że obiekt zmieni stan w czasie pomiędzy \(0\) a \(dt\), gdzie \(dt\) jest małe. Niech parametr \(\lambda\) będzie proporcjonalny do prawdopodobieństwa zmiany stanu obiektu w krótkim czasie. Chciałoby się, żeby to prawdopodobieństwo było też proporcjonalne do długości tego krótkiego czasu. Dlatego powiemy tak: prawdopodobieństwo zmiany stanu na odcinku czasu \(\langle 0,dt)\) określa się jako \(p=\lambda dt\). Ponadto, założymy, że nasz obiekt (atom) nie zna pojęcia starzenia się. W matematyce nazywamy to "brakiem pamięci" i algebraicznie jest to następująca własność: \(P(X < t)=P(X < t+s|X>s)\).
Podzielmy odcinek \(\langle0,dt)\) na \(n\) równych części. Czyli mamy odcinki:
\[\left\langle0,\frac{dt}{n}\right), \left\langle\frac{dt}{n},\frac{2dt}{n}\right),\ldots, \left\langle\frac{(n-1)dt}{n},\frac{ndt}{n}\right)=\left\langle\frac{(n-1)dt}{n},dt\right) \]Każdy z tych odcinków ma długość \(\frac{dt}{n}\). Prawdopodobieństwo, że obiekt zmieni stan w pierwszym odcinku, wynosi \(\lambda \frac{dt}{n}\). Ale obiekt się nie starzeje, więc na każdym z tych odcinków prawdopodobieństwo wynosi \(\lambda \frac{dt}{n}\).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że obiekt nie zmieni stanu na jednym takim odcinku? Oczywiście \(1- \lambda \frac{dt}{n}\). Żeby obiekt nie zmienił stanu na całym odcinku \(\langle0,dt)\), to musi nie zmienić stanu na każdym z \(n\) mniejszych odcinków. Zatem aby obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obiekt nie zmieni stanu na całym odcinku, możemy wymnożyć prawdopodobieństwa braku zmiany stanu na małych odcinkach. Na każdym odcinku wynosi ono \(1- \lambda \frac{dt}{n}\), więc po wymnożeniu dostajemy \(\left(1- \lambda \frac{dt}{n}\right)^n\). Jest to prawdpodobieństwo braku zmiany stanu na odcinku \(\langle0,dt)\).
Podzieliliśmy odcinek na \(n\) części i jest to dowolna liczba. Podzielmy więc go na nieskończenie wiele części, czyli obliczmy granicę w nieskończoności.
\[ \lim_{n\to\infty} \left(1- \lambda \frac{dt}{n}\right)^n = e^{-\lambda dt} \]A więc jakie jest prawdopodobieństwo zmiany stanu na odcinku \(\langle0,dt)\)? Oczywiście \(1-e^{-\lambda dt}\).
A teraz pomyślmy nie o małym \(dt\), a o dowolnie dużym \(t\). Dzielimy odcinek na tyle części, aby każdy z nich można było nazwać małym (porównywalnie małym do \(dt\)). Można to zrobić, ponieważ \(n\) było dowolne. Postępując tak samo, jak z \(dt\), dostajemy wniosek, że prawdopodobieństwo zmiany stanu na odcinku \(\langle0,t)\) wynosi \(1-e^{-\lambda t}\). Jest to dystrybuanta rozkładu wykładniczego!
